α

α

α

90-α

α

Zadání

Sestrojte\ rovnoběžník,\ jsou-li\ dány\ délky\ jeho\ stran\ a\ velikost\ úhlu\ jeho\ úhlopříček.

α

α

α = 180- α

Diskuze o počtu řešení

a)\ 0\ řešení:\
I)\ α=0°, |AK|\ ∥\ o_1 .. nedosáváme\ průsečík\ K\ tedy\ ani\ kružnici\  průsečíky\  C_1,\ C_2\
II)\ 0°<α<90° ∧ a=b\ vznikne\ střed\ K,\ ale\ kružnice\ k,\ k(K,|KA|)\ má\ průsečíky\ právě\ v\ bodech\ A,\ B'.\ Nevznikne\ rovnoběžník.\
III)\ α=90°\ středy\ K,\ B\ splynou,\ máme\ 2\ soustředné\ kružnice\ nemají\ průsečík\ nebo\ jich\ mají\ nekonečně\ mnoho\ pokud\ a=b.\
IV)\ α = 180°\ stejná\ myšlenka\ jako\ v\ I)\ přímky\ jsou\ rovnoběžné\ nikdy\ se\ neprotnou.\

b)\ 1\ řešení:\
I)\ 0°<α<90° ∧a≠b\ vznikne\ střed\ K.\ Vzdálenost |BM| = |BN|.\ Proto:\
\frac{a·(cos\,α +1)}{sin\,α} = b\
II)\ analogicky\ platí\ pro\ úhel\ 90°<α<180°\

c)\ 2\ řešení:\
I)\ 0°<α<90° ∧a≠b\ vznikne\ střed\ K.\ Vzdálenost\ |BM| > |BN|.\ Proto:\
\frac{a·(cos\,α +1)}{sin\,α} > b\
II)\ analogicky\ platí\ pro\ úhel\ 90°<α<180°\

N

M

Odvození výrazu o počtu řešení

Pro\ 2\ řešení\ je\ potřeba\
průsečíku\ kružnice\ k\ a\ m.\
Tedy\ |BM| > |BN|.\
|BK| + |KM| > |BN|\
\frac{a}{tg\,α} + \frac{a}{sin\,α} > b\
\frac{a·(cos\,α+1)}{sin\,α}>b.

B

A

m

N

K

k

M

α

90°- α

|KM| = |AK|

sin\,α = \frac{a}{|AK|}\
|AK| = \frac{a}{sinα} = |KM|\
tg\,α = \frac{a}{|BK|}\
|BK| = \frac{a}{tg\,α}

Řešení

1) |AB| = a

2) úsekový úhel α

3) osa úsečky AB', |AB'| = 2a, průsečík K

5) velikost ∡AKB

6) kružnice m (B, b)

7) průsečíky kružnic m a k; C_1, C_2

4) kružnice k (K, |KA|)

8) bod D_1 na rovnoběžce s AB, |C_1D| = a

9) rovnoběžník ABC_1D_1

N

M

C_2

C_1

Obvodový a středový úhel

δ

δ

δ

2δ

δ

∡\ QRP\ je\ obvodový\ ∡\ k\ tětivě\ QP.\
∡\ QOP\ je\ středový\ ∡\ k\ tětivě\ QP.\
A\ platí: |∡QOP| = 2·|∡QRP|

ξ

2ξ

S

Z\ vlastnosti\ obvodového\ a středového\ úhlu\ víme,\ že\ u\ vrcholu\ C_1\ bude\ úhel\ α.\
A\ protože ∡AC_1B'\ a\ ∡ASB\ je\ dvojice\ souhlasných\ úhlů,\ proto\ se\ jejich\ velikost\ rovná.

∡AC_1B'\ je\ obvodovým\ úhlem\ k\ tětivě\ AB'.\
Jeho\ velikost\ je\ rovna\ polovině\ středového\ úhlu (∡AKB').

Je-li\ ABCD\ hledaný\ rovnoběžník\ bod\ S\ jeho\ střed,\
pak\ obrazem\ jeho\ úhlopříčky\ DB\ v\ posunutí\ \vec{DC}\
je\ úsečka\ CB'.\ Snažíme\ se\ sestrojit\ trojúhelník\ ACB'.\
Ten\ můžeme\ sestrojit,\ nebotˇ\ známe\ délku\ jeho\ strany\
AB'\ (|AB'| = 2|AB|),\ velikost\ jeho\ těžnice\ CB\ a\ velikost\
jeho\ úhlu\ ACB'\ úhel\ úhlopříček\ rovnoběžníku,\ který\ je\
obvodovým\ úhlem\ AKB'.

A = (1, 1)
a = 3 (slider from 0 to 15, step 0.5)
f = Line(A, xAxis)
c = Circle(A, a)
B = Intersect(c, f, 2)
d = Circle(A, (2 * a))
B' = Intersect(d, f, 2)
b = 3.5 (slider from 0 to 15, step 0.5)
α = 1.361356816555577 rad (slider from 0 to 179°, step °)
g = Segment(A, B)
h = Segment(B, B')
B_1 = Rotate(B, (-α), A)
β = Angle(B_1, A, B)
i = Segment(A, B_1)
l = OrthogonalLine(A, i)
o_1 = OrthogonalLine(B, g)
K = Intersect(l, o_1)
k = Circle(K, A)
m = Circle(B, b)
C_2 = Intersect(k, m, 2)
C_1 = Intersect(k, m, 1)
j = Line(C_1, xAxis)
p = Circle(C_1, a)
D_1 = Intersect(p, j, 1)
mnohoúhelník1, a_1, b_1, d_1, e_1 = Polygon(A, B, C_1, D_1)
m_1 = Segment(B, D_1)
n = Segment(A, C_1)
E' = Translate(D_1, Vector[D_1, C_1])
B'_1 = Translate(B, Vector[D_1, C_1])
q = Segment(E', B'_1)
S = Intersect(m_1, n)
γ = Angle(A, S, B)
δ = Angle(A, C_1, B')
ε = Angle(B, A, K)
ζ = Angle(A, K, B)
e = true
η = Angle(B, S, A)
θ = Angle(B', C_1, A)
ι = Angle(B, K, A)
o = false
C = Intersect(m, o_1, 2)
D = Intersect(k, o_1, 2)
r = false
E = (-6.52, -3.61)
s = Line(E, xAxis)
t = OrthogonalLine(E, s)
c_1 = Circle(E, a)
F = Intersect(c_1, s, 1)
f_1 = Circle(E, b)
G = Intersect(f_1, t, 2)
u = Distance(A, K)
v = Distance(B, K)
g_1 = Circle(E, v)
H = Intersect(g_1, t, 2)
h_1 = Circle(H, u)
I = Intersect(h_1, t, 2)
i_1 = Segment(F, E)
j_1 = Segment(E, I)
k_1 = Segment(F, H)
κ = Angle(F, H, E)
λ = Angle(E, F, H)
μ = Angle(H, E, F)
l_1 = Segment(H, I)
w = false
n_1 = false
p_1 = false
q_1 = false
r_1 = false
s_1 = false
t_1 = false
u_1 = false
v_1 = false
w_1 = false
J = Intersect(m, o_1, 2)
L = Intersect(k, o_1, 2)
M = Intersect(f_1, h_1, 1)
N = Intersect(f_1, h_1, 2)
a_2 = false
O = (25.64, 0.14)
P = (28.01, -1.72)
c_2 = Circle(O, P)
f_2 = Line(P, xAxis)
Q = Intersect(c_2, f_2, 2)
g_2 = Segment(Q, O)
h_2 = Segment(O, P)
i_2 = Segment(P, Q)
R = Point(c_2)
T = Point(c_2)
U = Point(c_2)
j_2 = Segment(Q, U)
k_2 = Segment(U, P)
l_2 = Segment(P, R)
m_2 = Segment(R, Q)
n_2 = Segment(Q, T)
p_2 = Segment(T, P)
ν = Angle(Q, U, P)
ξ = Angle(Q, T, P)
ο = Angle(Q, R, P)
ρ = Angle(Q, O, P)
V = Midpoint(Q, P)
q_2 = Segment(O, V)
σ = Angle(Q, O, V)
W = Point(c_2)
r_2 = Segment(Q, W)
s_2 = Segment(P, W)
τ = Angle(P, W, Q)
υ = Angle(P, O, Q)
Z = Intersect(m_1, n)